我们会先描述一些必要的数学方程,以便各位更好地理解我们的模型。更精确更详细更严密的讲解已写在另一篇论文中(Sichert et al. 2006)。
在重建空间原始热分布之前,我们必须先了解颊窝膜上的热图像。首先,我们规定膜上的图像成形自空间的点j和辐射强度Oj。因此膜上的点i为:
(1)
Ii代表膜上i点的辐射强度,为Oj乘上转移函数Tij。为获得膜上全部热图像,我们需要将所有点加起来:
(2)
转移函数描述了来自j点的热达到膜上点i的效率。如果空间中的j点在膜上i点处不可见(传播途径被器官边缘遮挡),也就没有热传递和Tij值。如果可见,那么能量守恒定律将决定转移函数。用角ϕij的余弦除以从热源(辐射能量以球型发散)抵达膜上的热量rij的绝对值平方,这可以计算出以该入射角进入的信息在膜上的有效“可视”区域。因此可以得到:
(3)
为考虑无所不在的干扰,我们给公式(2)加入了一个随机项,得到:
(4)
这个变量服从零平均值和标准偏差σχ的高斯分布(Gaussian distribution)。
公式(4)中的膜强度为在膜上测量到的红外强度。下一步就是通过膜上的图像,尝试重建空间热量分布。换言之,我们尝试给出了一个通过测量的膜强度构成的重建模型,
(5)
Rij模型(matrix Rij)需要在这时确定。然而,公式(4)并没有给出在原始热分布中存在、但在传递过程中流失的信息,此外,公式(4)还具有随机性。我们最好为Rij找出一个最优值。我们用以下方程估计公式(5)中的误差,
(6)
为计算(6),我们必须得计算Oi的统计特性(statistical properties),但Oi本身的数值并不需知道。在我们的模型中,我们假设原始热量分布是互不关联的:任一点的O值都不能代表其他点的值。但在现实中,空间热量分布的变化是非常平滑的,即空间中相邻点的热量都是彼此相近的。无论如何,我们假定蛇并不“知道”这个事实,认为热量分布是彼此隔绝的。重建之后的空间热量分布很可能结构紧凑,在现实中它们也的确应该那样。事实上,输入信息如果互不相关,对信号重建来说更加困难,而我们正在处理这种“最坏的情况”。
现在我们需要计算Rij模型来缩小公式(6)的误差。找到正确的矩阵后,我们就可以通过测量到的膜上热量分布,计算出空间热量分布的“最佳估计值”。